Mặt phẳng $(P)$ thuộc chùm mặt phẳng xác định bởi hai mặt phẳng $(\alpha ), (\beta )$
Vậy phương trình $(P)$ có dạng: $\lambda(2x-z)+\mu(x+y-z+5)=0$
Vậy $(P)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2\lambda+\mu; \mu; -\lambda-\mu) $
Mặt phẳng $(\gamma)$ có vceto pháp tuyến $\overrightarrow{K}=(7;-1;4) $
Ta có $(P)\bot (\gamma)\Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{K}=0 \Leftrightarrow 7(2\lambda+\mu)-1.\mu+4(-\lambda-\mu)=0 $ $\Leftrightarrow 5 \lambda +\mu$
Chọn $\lambda=1$ và $\mu=-5$ ta được: $(P):-3x-5y+4z-25=0$