a)Xét: $f(t)=\arctan t-\ln (t^{2}+1),t\in [x,1]$
$x\in [\frac{1}{2},1],$ để ý: $x=1$ BĐT luôn đúng.
$f'(t)=\frac{1}{1+t^{2}}-\frac{2t}{1+t^{2}}=\frac{1-2t}{1+t^{2}}\leq 0$
Suy ra hàm số nghịch biến $\Rightarrow f(x)\geq f(1)$$\Rightarrow \arctan x-\ln (x^{2}+1)\geq \frac{\pi}{4}-\ln 2$
$\Rightarrow \arctan x-\frac{\pi}{4}\geq \ln (x^{2}+1)-\ln 2$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)
b)Xét: $f(x)=\arctan x-(x-\frac{x^{3}}{3}),\forall x\geq 0$
$f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-1+x^{2}=\frac{x^{4}}{1+x^{2}}\geq 0,\forall x\geq 0$
Bảng biến thiên:
Vậy: $f(x)\geq 0,\forall x\geq 0 \Rightarrow \arctan x \geq x-\frac{x^{3}}{3},\forall x\geq 0$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)
c)Trong mặt phẳng $Oxy$,xét $M(x-1,y)$ và $N(x+1,-y)$.Khi đó:
$OM+ON\geq MN$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{4+4y^{2}}$
*Nếu $y>2$ thì: $2\sqrt{1+y^{2}}+|y-2|>2\sqrt5>2+\sqrt{3}$
*Nếu $y\leq 2$ thì: $2\sqrt{1+y^{2}}+|y-2|=2\sqrt{1+y^{2}}+2-y=f(y)$
$f'(y)=\frac{2y}{\sqrt{1+y^{2}}}-1=0 \Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bảng biến thiên:
Suy ra: $2\sqrt{1+y^{2}}+|y-2|\geq 2+\sqrt{3},\forall y\in R$
Vậy: $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+|y-2|\geq 2+\sqrt{3},\forall x,y\in R$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)