a)Xét: $f(u)=\frac{u^{p}}{p}+\frac{v^{q}}{q}-uv,u\geq 0$
(Xem: $v>0$ vì $v=0$:BĐT luôn đúng)
$f'(u)=u^{p-1}-v=0 \Leftrightarrow u^{p-1}=v \Leftrightarrow u=v^{\frac{q}{p}}$
Bảng biến thiên:
Vậy: $uv\leq \frac{u^{p}}{p}+\frac{v^{q}}{q}$
b)*Nếu: $\int\limits_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx=0$ hay $\int\limits_{a}^{b} |g(x)|^{q}dx=0$ thì $f\equiv 0$ hay $g\equiv 0$:BĐT luôn đúng.
Xét $\int\limits_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx>0$ và $\int\limits_{a}^{b} |g(x)|^{q}dx>0$
Áp dụng BĐT câu (a):
Với: $\begin{cases} u=\frac{|f(x)|}{(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx)^\frac{1}{p}}>0 \\ v=\frac{|g(x)|}{(\int\limits_{a}^{b} |g(x)|^{q}dx)^\frac{1}{q}}>0 \end{cases}$
$uv\leq \frac{u^{p}}{p}+\frac{v^{q}}{q}$ (1)
Lấy tích phân từ $a \to b$ 2 vế BĐT (1) ta được:
$\int\limits_{a}^{b} uvdx\leq \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$
Vậy:$\int\limits_{a}^{b}|f(x).g(x)|dx\leq (\int\limits_{a}^{b} |f(x)|^{p}dx)^\frac{1}{p}(\int\limits_{a}^{b} |g(x)|^{q}dx)^\frac{1}{q}$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)