Xét trong mặt phẳng $Oxy$:
$(1)\Leftrightarrow \sqrt{(a-3)^{2}+(b-5)^{2}}+\sqrt{(a-5)^{2}+(b-7)^{2}}\geq 6$
Xét đường thẳng $(d):x-2y+2=0$
$A(3,5);B(5,7)$
$C(a,b)\in (d)$ (vì: $a-2b+2=0$)
Suy ra: $CA=\sqrt{(a-3)^{2}+(b-5)^{2}};CB=\sqrt{(a-5)^{2}+(b-7)^{2}}$
Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $(d)$
Gọi $H(x,y)$ là hình chiếu của $A$ lên $d$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} H\in d\\ AH\bot d \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-2y+2=0\\ 2(x-3)+(y-5)=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4\\ y=3 \end{array} \right.$
Lại có: $H$ là trung điểm $A'A$
Suy ra: tọa độ $A'(5,1)$
$A'B=\sqrt{(5-5)^{2}+(7-1)^{2}}=6$
Ta có: $CA+CB=CA'+CB\geq A'B=6$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow C\equiv C_{0} $ (với $C_0=BA'\cap d\Rightarrow C_0(5;\frac72) )$
$\Rightarrow \sqrt{(a-3)^{2}+(b-5)^{2}}+\sqrt{(a-5)^{2}+(b-7)^{2}}\geq 6$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}a=5\\ b=\frac{7}{2} \end{cases}$