Bài 108614

Question

Cho $\triangle ABC$,điểm $M$ trong mặt phẳng thỏa mãn:
$\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}$
a.Chứng minh rằng $MN$ luôn đi qua trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$ khi $M$ thay đổi.
b.Gọi $P$ là trung điểm của $CN$.Chứng minh rằng $MP$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi.

score 0 · Answer 1

a.Với $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ ta luôn có: $\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {0} $$\Leftrightarrow -3\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$
Từ giả thiết ta nhận được: $\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{GM}$
Vậy $MN$ luôn đi qua trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$ khi $M$ thay đổi.
b.Vì $P$ là trung điểm của $CN$ nên:
$\overrightarrow {MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MN})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC})$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+2.\overrightarrow {MC})$
Gọi $J$ là điểm thỏa mãn:
$\overrightarrow {JA}+\overrightarrow {JB}+2.\overrightarrow {JC}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {JA}+(\overrightarrow {JA}+\overrightarrow {AB})+2(\overrightarrow {JA}+\overrightarrow {AC})=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow 4.\overrightarrow {AJ}=\overrightarrow {AB}+2.\overrightarrow {AC}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AJ}=\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
$\Rightarrow $ tồn tại duy nhất điểm $J$ cố định.
Từ đó:
$\overrightarrow {MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+2.\overrightarrow {MC})=\frac{1}{2}(1+1+2)\overrightarrow {MJ}=2.\overrightarrow {MJ}$
Vậy $MP$ luôn đi qua một điểm cố định $J$ khi $M$ thay đổi.

Bài 108614

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108614

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan