$M,N,P$ là trung điểm của ba cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC; H,G,O$ lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC, I$ là tâm đường tròn $(MNP)$.
a. Chứng minh rằng tam giác $MNP$ là ảnh của tam giác $ABC$ trong phép vị tự tâm $G$, tỉ số $-\frac{1}{2} $. Từ đó suy ra $4$ điểm $O,G,I,H$ thẳng hàng và $I$ là trung điểm đoạn $OH$.
b. Chứng minh rằng phép vị tự tâm $H$, tỉ số $\frac{1}{2} $ biến đường tròn $(ABC)$ thành đường tròn $(MNP)$. Từ đó suy ra, trong một tam giác, trung điểm 3 cạnh, chân 3 đường cao và trung điểm các đoạn nối trực tâm với 3 đỉnh là 9 điểm nằm trên một đường tròn.
|