Bài 110997

Question

Giải hệ

$(I)$

$\left\{ \begin{array}{l} ay + bx = c (1) \\ cx + az = b (2) \\ bz + cy = a (3) \end{array} \right.$ , trong đó

$a ,b,c$ là

$3$ cạnh của một tam giác.

score 0 · Answer 1

Do a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên

$(3)$

$\Leftrightarrow$ z=

$\frac{a - cy}{b}$ , thay vào

$(2)$ có bx - ay =

$\frac{b^2-a^2}{c}$
Bởi vậy ta có

$(I)$

$\Leftrightarrow$

$(II)$

$\left\{ \begin{array}{l} bx + ay = c\\ bx - ay = \frac{b^2-a^2}{c}\\ z=\frac{a-cy}{b} \end{array} \right.$
Xem hệ hai phương trình

$(1)$ và

$(2')$ có D =

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} b&a\\ b&{ - a} \end{array}} \right|$ =-2ab<

$0$ .Do đó hệ

$(II)$ có nghiệm duy nhất.

$(4)$
Mặt khác,trong mọi tam giác luôn có

$\left\{ \begin{array}{l} sinAcosB + cosAsinB=sinC\\ sinAcosC + cosAsinC=sinB\\sinBcosC + cosBsinC=sin A \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$

$(5)$

$\left\{ \begin{array}{l} 2R(sinAcosB + cosAsinB)=2RsinC\\ 2R(sinAcosC+cosAsinC)=2RsinB\\2R(sinBcosC+cosBsinC)=2RsinA \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$

$(6)$

$\left\{ \begin{array}{l} a cosB+b cosA=c\\ c cosA+a cosC=b\\b cosC+c cosB=a \end{array} \right.$
Kết quả

$(6)$ thu được nhờ trong

$(5)$ thay

$a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC$
Các kết quả

$(5)$ và

$(6)$ cho thấy x=cosA ,y=cosB, z=cosC là một nghiệm của hệ (I).Theo

$(4)$ đó cũng là nghiệm duy nhất của hệ ấy.
Theo định lý hàm số cosin thì cặp nghiệm duy nhất của hệ được viết

$x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} ; y=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} ; z=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}$

1 Đáp án