Bài 111416

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$.
a) Chứng minh rằng nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {SB}+\overrightarrow {SD}=\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SC}$
Điều ngược lại có đúng không?
b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.Chứng minh rằng $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SB}+\overrightarrow {SC}+\overrightarrow {SD}=4.\overrightarrow {SO}$

score 0 · Answer 1

a.Nếu $ABCD$ là hình bình hành với tâm $O$ thì:
$\overrightarrow {SB}+\overrightarrow {SD}=2.\overrightarrow {SO}$
$\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SC}=2.\overrightarrow {SO}$
Từ đó,suy ra: $\overrightarrow {SB}+\overrightarrow {SD}=\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SC}$
Điều ngược lại cũng đúng ,thật vậy:
$\overrightarrow {SB}+\overrightarrow {SD}=\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SC} \Leftrightarrow \overrightarrow {SB}-\overrightarrow {SA}=\overrightarrow {SC}-\overrightarrow {SD}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {DC}$
$\Leftrightarrow ABCD$ là hình bình hành.
b.Trước tiên,vì $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên:
*$O,A,C$ thẳng hàng,suy ra $\exists m: \overrightarrow {OA}=m.\overrightarrow {OC}$.
*$O,B,D$ thẳng hàng,suy ra $\exists n: \overrightarrow {OB}=n.\overrightarrow {OD}$.
Khi đó:
$4.\overrightarrow {SO}=\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SB}+\overrightarrow {SC}+\overrightarrow {SD}$
$=(\overrightarrow {SO}+\overrightarrow {OA})+(\overrightarrow {SO}+\overrightarrow {OB})+(\overrightarrow {SO}+\overrightarrow {OC})+(\overrightarrow {SO}+\overrightarrow {OD})$
$=4.\overrightarrow {SO}+(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OC})+(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OD})$
$\Leftrightarrow (m+1)\overrightarrow {OC}+(n+1)\overrightarrow {OD}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} m+1=0 \\ n+1=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m=-1 \\ n=-1\end{cases}\Leftrightarrow O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
$\Leftrightarrow ABCD$ là hình bình hành.

Bài 111416

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111416

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan