1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn
ĐN: Ta nói rằng dãy số (un)có giới hạn là số thực L nếu lim
Khi đó ta viết
\lim ({u_n}) = L hoặc \lim {u_n} = L hoặc {u_n} \to L
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ : Dãy số không đổi ({u_n})với {u_n} = c(c là hằng số) có giới hạn là c vì
\lim \left( {{u_n} - c} \right) = \lim \left( {c - c} \right) = \lim 0 = 0
2. Một số định lí
Định lí 1: giả sử \lim {u_n} = L.. Khi đó
a) \lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right| và \lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L};
b) Nếu {u_n} \geqslant 0 với mọi n thì L \geqslant 0và \lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L
Ví dụ 3: \lim \sqrt {9 + \frac{{c{\text{os}}2n}}{n}} = 3 vì \lim \left( {9 + \frac{{c{\text{os}}2n}}{n}} \right) = 9.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Xét cấp số nhân vô hạn {u_1},{u_1}q,{u_2}{q^2},...,{u_1}{q^n},... có công bội q với \left| q \right| < 1(gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn). Ta có, tổng của cấp số nhân đã cho là
\lim {S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} và S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}
Ví dụ 6: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng phân số.
Giải:
Ta có 0,777... = \frac{7}{{10}} + \frac{7}{{{{10}^2}}} + \frac{7}{{{{10}^3}}} + ...
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu {u_1} = \frac{7}{{10}}và công bội q = \frac{1}{{10}}. Do đó: 0,777... = \frac{{\frac{7}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{7}{9}
|