|
|
1.Dãy số có giới hạn +∞
ĐN: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Khi đó ta viết : lim hoặc \lim {u_n} = + \infty hoặc {u_n} \to + \infty
2. Dãy số có giới hạn - \infty
ĐN: Ta nói rằng dãy số ({u_n})có giới hạn là - \infty nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhở hơn số âm đó.
Khi đó ta viết : \lim ({u_n}) = - \infty hoặc \lim {u_n} = - \infty hoặc {u_n} \to - \infty
\lim ({u_n}) = - \infty \Leftrightarrow \lim ( - {u_n}) = + \infty
Các dãy số có giới hạn + \infty và - \infty được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.
Định lí: Nếu \lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty thì \lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Vì + \infty và - \infty không phải là những số thực nên không áp dụng được các định lí trong bài 2 cho các dãy số có giới hạn vô cực. Khi tìm các giới hạn vô cực, ta có thể sử dụng các quy tắc:
a) Quy tắc 1:
Nếu \lim {u_n} = \pm \infty và \lim {v_n} = \pm \infty thì \lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) được cho trong bảng sau:
Ví dụ: Vì {n^2} = n.n và \lim n = + \infty nên \lim {n^2} = + {\infty _{}}. Tương tự, với mọi số nguyên dương k ta có \lim {n^k} = + \infty
b) Quy tắc 2:
Nếu \lim {u_n} = \pm \infty và \lim {v_n} = L \ne 0 thì \lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)được cho trong bảng sau:
Ví dụ: Tìm \lim \frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}}
Giải:
Chia tử và mẫu cảu phân thức cho {n^3}({n^3} là lũy thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được
\frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}} = \frac{{3 + \frac{2}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}
Vì \lim \left( {3 + \frac{2}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 3 > 0,\lim \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 0 và \frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}} > 0 với mọi n nên
\lim \frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}} = + \infty
|