giải toán

Question

Cho tam giác ABC có trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN. Chứng minh:

$AC^2+AB^2=5BC^2$

score 1 · Answer 1

Giả sử hai đường trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau tại O.

Đặt OM = y , ON = x (x,y > 0) , suy ra OB = 2x , OC = 2y

Ta có : $AB^2=\left(2BM\right)^2=4BM^2=4\left(4x^2+y^2\right)$

$AC^2=\left(2CN\right)^2=4CN^2=4\left(4y^2+x^2\right)$

$\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(4x^2+y^2\right)+4\left(4y^2+x^2\right)$

$=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5\left[\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2\right]$

$=5\left(OB^2+OC^2\right)=BC^2$

$\Rightarrow AB^2+AC^2=5BC^2$

1 Đáp án