Giải
Ta biết: $a,b,c,d$ là cấp số cộng $\Leftrightarrow a+d=b+c$ (*)
Ta có thể biến đổi biểu thức:
$M=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m^2$
$=[x^2-(a+d)x+ad][x^2-(b+c)x+bc]+m^2$
Đặt $t=x^2-(a+d)x=x^2-(b+c)x$ (*)
Thì $M$ là một tam thức theo $t$ có biệt số:
$\Delta=(ad+bc)^2-4m^2-4abcd = (ad)^{2} + 2abcd +(bc)^2 -4abcd -(4m)^2 = (ad-bc)^2-4m^2$
Ngoài giả thiết cho số $ m$ sao cho $2m \geq |ad-bc| \Rightarrow 4m^2 \geq (ad-bc)^2$
Do đó: $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta = {{(ad - bc)}^2} - 4{m^2}}\\
{4{m^2} \ge {{(ad - bc)}^2}}
\end{array}} \right\} \Rightarrow \Delta \leq 0$
Do đó tam thức $M$ theo t cùng dấu với hệ số của $t^2$ cho ta $M\geq 0$ với mọi $t$
Vậy: $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m^2 \geq 0$