Bài 105207

Question

Các số

$a,b,c,d$ lập thành một cấp số cộng.
Chứng minh rằng nếu lấy số

$m$ sao cho

$2m \geq |ad-bc|$ thì với mọi

$x$ ta có:

$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m^2\geq 0$

score 0 · Answer 1

Giải
Ta biết:

$a,b,c,d$ là cấp số cộng

$\Leftrightarrow a+d=b+c$ (*)
Ta có thể biến đổi biểu thức:

$M=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m^2$

$=[x^2-(a+d)x+ad][x^2-(b+c)x+bc]+m^2$
Đặt

$t=x^2-(a+d)x=x^2-(b+c)x$ (*)
Thì

$M$ là một tam thức theo

$t$ có biệt số:

$\Delta=(ad+bc)^2-4m^2-4abcd = (ad)^{2} + 2abcd +(bc)^2 -4abcd -(4m)^2 = (ad-bc)^2-4m^2$

Ngoài giả thiết cho số

$m$ sao cho

$2m \geq |ad-bc| \Rightarrow 4m^2 \geq (ad-bc)^2$
Do đó:

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = {{(ad - bc)}^2} - 4{m^2}}\\ {4{m^2} \ge {{(ad - bc)}^2}} \end{array}} \right\} \Rightarrow \Delta \leq 0$
Do đó tam thức

$M$ theo t cùng dấu với hệ số của

$t^2$ cho ta

$M\geq 0$ với mọi

$t$
Vậy:

$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m^2 \geq 0$

Bài 105207

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105207

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan