Bài 113280

Question

Rút gọn biểu thức

$Q=\cos a+\cos (a+2b)+\cos (a+3b)+...+\cos (a+nb)$

score 0 · Answer 1

Trường hợp 1:

$b=2\pi \Rightarrow \cos (a+ib)=\cos (a+i2\pi)=\cos a$ , với mọi

$i=1,2...,n$
Suy ra

$Q=(n+1)\cos a$
Trường hợp 2:

$b \neq 2\pi \Rightarrow \sin \frac{b}{2} \neq 0$
Từ công thức

$2\sin \frac{b}{2}\cos X=\sin (X+\frac{b}{2})-\sin (X-\frac{b}{2})$ suy ra:
Với

$X=a$ , có

$2\sin \frac{b}{2} \cos a=\sin(a+\frac{b}{2})-\sin (a-\frac{b}{2})$
Với

$X=a+b$ , có

$2\sin \frac{b}{2} \cos (a+b)=\sin(a+\frac{3b}{2})-\sin (a+\frac{b}{2})$
Với

$X=a+2b$ , có

$2\sin \frac{b}{2} \cos (a+2b)=\sin(a+\frac{5b}{2})-\sin (a+\frac{3b}{2})$
Với

$X=a$ , có

$2\sin \frac{b}{2} \cos a=\sin(a+\frac{b}{2})-\sin (a-\frac{b}{2})$
Với

$X=a$ , có

$2\sin \frac{b}{2} \cos a=\sin(a+\frac{b}{2})-\sin (a-\frac{b}{2})$
Với

$X=a+(n-1)b$ có

$\sin \frac{b}{2}\cos[a+(n-1)b]=\sin(a+\frac{(2n-1)b}{2}-\sin(a+\frac{(2n-3)b}{2})$
Với

$X=a+nb$ , có

$2\sin \frac{b}{2}\cos(a+nb)=\sin(a+\frac{(2n+1)b}{2})-\sin(a+\frac{(2n-1)b}{2})$
Cộng theo từng vế các đẳng thức trên đặt

$2\sin \frac{b}{2}$ làm nhân từ chung, lưu ý: ở vế phải có

$\frac{n}{2}$ cặp biểu thức đối nhau (chúng bị triệt tiêu) ta có:

$2Q\sin \frac{b}{2}=\sin (a+\frac{(2n+1)b}{2})-\sin (a-\frac{b}{2})=2\cos (a+\frac{nb}{2})\sin \frac{(n+1)b}{2}$

$\Leftrightarrow Q=\frac{\cos (a+\frac{nb}{2}).\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2} }$ . Tóm lại:
*

$Q=(n+1)\cos a$ , nếu

$b=k2\pi$
*

$Q= \frac{\cos (a+\frac{nb}{2}).\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2} }$ , nếu

$B \neq k2\pi$

1 Đáp án