Bài 112182

Question

Chứng minh rằng: Với mọi tam giác

$ABC$ ta luôn có

$\cos A+\cos B+\cos C >1$

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/16/2012 4:24:22 PM

Chứng minh

$\cos A+\cos B+\cos C=1+4 \sin \frac{A }{2 } \sin \frac{ B}{ 2} \cos \frac{ C}{ 2}(*)$ đúng ta được :

$\cos A+\cos B+\cos C=1+4 \sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{ B}{ 2} \sin \frac{ C}{ 2}$ với mọi tam giác

$ABC$ thì

$\sin \frac{ A}{2 } \sin \frac{ B}{ 2} \sin \frac{ C}{ 2} >0$
Do đó: Với mọi tam giác

$ABC$ ta luôn có

$\cos A+\cos B+\cos C >1$

(Chứng minh (*):

$\cos A+\cos B+\cos C=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\sin^2\frac{C}{2}$

$=1+2\sin\frac{C}{2}[\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2}]=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$

1 Đáp án